Числа Мерсенна и совершенные числа

Число Мерсенна - простое число вида 2ⁿ-1.
Совершенное число - число, равное сумме своих делителей.
Первые 9 совершенных чисел: (8128 = 127*64 = 1+2+4+8+16+32+64+127*(1+2+4+8+16+32) = 63 + 64 + 127*63)

n	2	3	5	7	13	17	19	31	61
(2ⁿ-1)*2^n-1	6	28	496	8128	33550336	8589869056	137438691328	2305843008139952128	2658455991569831744654692615953842176

Основные факты:

Если 2ⁿ-1 простое, то n - простое, но не наоборот,
например 2¹¹-1 =2047=23*89.

Если p = 2ⁿ-1 простое, то p*(p+1)/2 - совершенное. (Евклид)

Все четные совершенные числа имеют вид p*(p+1)/2, где p = 2ⁿ-1 простое (Эйлер)

Миронов В.Ф. доказал в 2017 г. , что нечётных совершенных чисела не существует.

Неизвестно, бесконечно ли количество совершенных чисел.

На 3.1.2018 найдено 50 совершенных чисел.

Проверка на простоту 2ⁿ-1 осуществляется с помощью теста Люка-Люмьера.
Так найдены все числа Мерсенна, начиная с 9-го числа - числа Первушина

Все числа Мерсенна, начиная с 35-го, найдены в рамках проекта GIMPS добровольных вычислений по поиску чисел Мерсенна. (сайт проекта)

Самое большое простое число, не являющееся числом Мерсенна, - число Амдала 6, равное 391581*2²¹⁶¹⁹³-1 (65087 знаков)

Многочлен Джонса- множество неотрицательных значений
этого многочлена от 26 переменных дает все простые числа!

N	n	число Мерсенна	знаков	дата	кто определил и как
1	2	3 = 2²-1	1	500 до н.э.	древнегреческие математики
2	3	7 = 2³-1	1	500 до н.э.	древнегреческие математики
3	5	31 = 2⁵-1	2	257 до н.э.	Евклид
4	7	127 = 2⁷-1	3	257 до н.э.	Евклид
5	13	8191 = 2¹³-1	4	1456	неизвестно
6	17	131071 = 2¹⁷-1	6	1588	Пьетро Катальди
7	19	524287 = 2¹⁹-1	6	1588	Катальди
8	31	2147243647 = 2³¹-1	10	1750	Леонард Эйлер
9	61	2305843009213693951	19	1883	Первушин Иван Михеевич, проверка простоты числа с помощью чисел Люка
10	89	61897001964269013744956211	27	06.1911	R. E. Powers, тест Люка-Лемера
11	107	162259276829213262291578010288127	33	11.06.1914	R. E. Powers, метод Люка
12	127	170141183460469231731687303715884105727	39	11.01.1876	Э.Люка, метод Люка.
13	521	2⁵²¹-1	157	30.01.1952	Рафаэль Робинсон, ЭВМ 1-го поколения SWAC
14	607	2⁵²¹-1	183	30.01.1952	Рафаэль Робинсон
15	1279	2¹²⁷⁹-1	386	25.06.1952	Рафаэль Робинсон
16	2203	2²²⁰³-1	664	07.10.1952	Рафаэль Робинсон
17	2281	2⁵²¹-1	687	09.10.1952	Рафаэль Робинсон
18	3217	2³²¹⁷-1	969	18.09.1957	Ханс Ризель, Первый шведский компьютер BESK
19	4253	2⁴²⁵³-1	1281	03.11.1961	Alexander Hurwitz, IBM 7090
20	4423	2⁴⁴²³-1	1332	03.11.1961	Alexander Hurwitz, IBM 7090
21	9689	2⁹⁶⁸⁹-1	2917	11.05.1965	Donald B. Gillies, ILLIAC II
22	9941	2⁹⁹⁴¹-1	2003	16.05.1965	Donald B. Gillies, ILLIAC II
23	11213	2¹¹²¹³-1	3376	02.06.1965	Donald B. Gillies, ILLIAC II
24	19937	2¹⁹⁹³⁷-1	6002	04.03.1971	Bryant Tuckerman, IBM 360/91
25	21701	2²¹⁷⁰¹-1	6553	30.10.1978	Landon Curt Noll & Laura Nickel, CDC Cyber 174 (это 2 американских школьника написали программу теста Люка-Люмера и прогнали на суперкомпьютере!)
26	23209	2²³²⁰⁹-1	6987	09.02.1979	Landon Curt Noll, CDC Cyber 174
27	44497	2⁴⁴⁴⁹⁷-1	13395	08.04.1979	Harry Lewis Nelson & David Slowinski, Cray 1
28	86243	2⁸⁶²⁴³-1	25962	25.09.1982	David Slowinski, Cray 1
29	110503	2¹¹⁰⁵⁰³-1	33265	28.01.1988	Walter Colquitt & Luke Welsh, NEC SX-2
30	132049	2¹³²⁰⁴⁹-1	39050	19.09.1983	David Slowinski, Cray X-MP
31	216091	2²¹⁶⁰⁹¹-1	65050	01.09.1985	David Slowinski, Cray X-MP/24
32	756839	2⁷⁵⁶⁸³⁹-1	227832	19.02.1992	David Slowinski & Paul Gage, Maple on Harwell Lab Cray-2
33	859433	2⁸⁵⁹⁴³³-1	258726	04.01.1994	David Slowinski & Paul Gage, Cray C90
34	1257787	2^1257787-1	378632	03.09.1996	David Slowinski & Paul Gage, Cray T94
35	1398269	2^1398269-1	420921	13.11.1996	Joel Armangaud (France) Проект GIMPS, программа prime95, 90 MHz Pentium PC
36	2976221	2^2976221-1	895932	24.08.1997	Gordon Spence (UK), prime95 (и далee), 100 MHz Pentium PC
37	3021377	2^3021377-1	909526	27.01.1998	Roland Clarkson (USA), 200 MHz Pentium PC
38	6972593	2^6972593-1	2098960	01.06.1999	Nayan Hajratala(USA), 350 MHz Pentium II IBM Aptiva (13000 лет машинного времени P90) Премия 50000$
39	13466917	2^13466917-1	4053946	14.11.2001	М.Cameron(Канада), 800 MHz Athlon Thunderbird
40	20996011	2^20996011-1	6320430	17.11.2003	Michael Shafer, 2 GHz Dell Dimension
41	24036583	2^24036583-1	7235733	15.05.2004	Josh Findley, 2.4 GHz Pentium 4 PC
42	25964951	2^25964951-1	7816230	18.02.2005	Martin Nowak, 2.4 GHz Pentium 4 PC
43	30402457	2^30402457-1	9152052	15.12.2005	Steven Boone, 2 GHz Pentium 4 PC
44	32582657	2^32582657-1	9808358	04.09.2006	Curtis Cooper, Steven Boone, 3 GHz Pentium 4 PC
45	43112609	2^43112609-1	12978189	23.08.2008	Edson Smith, UCLA computer 2.83 GHz Core 2 Duo PC Премия 100000$
46	37156667	2^37156667-1	11185272	06.09.2008	Hans-Michael Elvenich (Germany), GHz Core 2 PC
47	42643801	2^426438011-1	12837064	12.04.2009	Одд Magnar Strindmo из Melhus, Норвегия (29 дней на 3,0 ГГц процессоре Intel Core2, Dell Optiplex 745)
48	57885161	2^57885161-1	17425170	05.02.2013	Кертис Купер, University of Central Missouri (39 дней вычислений, Intel Core2 Duo E8400 @ 3.00GHz)
49	74207281	2^74207281-1	22338618	07.01.2016	Кертис Купер, University of Central Missouri (месяц на ПК с процессором Intel I7-4790, 3.60GHz)
50	77232917	2^77232917-1	23249425	03.01.2018	волонтер Джонатан Пейс "охотился" 14 лет (6 дней вычислений на Intel i5-6600 3.30GHz), премия 3000$
51	82589933	2^82589933-1	24862048	21.12.2018	волонтер Патрик Ларош, Окала, Флорида

Премии за нахождение простых чисел, учрежденные Electronic Frontier Foundation (EFF)

более 100 млн.цифр 150000$
более 1 млрд.цифр 250000$
Наибольшее известное простое число
Простые числа Мерсенна и тест Люка-Лемера , используется язык Wolfram Language
Матиясевич Ю. Формулы для простых чисела Квант, N5, 1975
Депман И.Совершенные числа Квант, N5, 1991
Все про числа
Критерий Решетова - метод вычисления чисел Мерсенна

более 100 млн.цифр	150000$
более 1 млрд.цифр	250000$